tag:blogger.com,1999:blog-81314560662129275982024-03-14T05:09:58.937-03:00Matemática da HoraSintam-se bem vindos.
Esta página será utilizada inicialmente pelos nossos alunos de matemática, para avisos, esclarecimento de dúvidas, distribuição de exercícios e correções, bem como, por todos que desejarem ampliar seus conhecimentos.
Esperamos que todos os participantes postem mensagens adequadas, que visem seu crescimento acadêmico, bem como de seus colegas, respeitando sempre os direitos e a individualidade dos demais.
Recebam um caloroso abraço.Unknownnoreply@blogger.comBlogger15125tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-88969775166693875192017-03-26T12:06:00.000-03:002017-03-26T12:07:47.839-03:00Identidade de Euler<img alt="A imagem pode conter: texto" height="438" src="https://scontent.fcgh11-1.fna.fbcdn.net/v/t1.0-9/17553928_1442946275779771_6957388984057533753_n.jpg?oh=56e9e3a6a84d93a21a98c9f1b05655d5&oe=596F3F4D" width="640" /><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
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Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-11741420739245777402015-11-26T20:21:00.002-02:002015-11-26T20:21:51.310-02:00Teorema da Bissetriz Externa<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC8Eta7ot4zKgqKHHo3eON_yyZit29jz5aLSo1yoOlPv6iC_xi0_eFfEL_koiyh9AC9m-bDqmTTflPbpE8Y8Us0Ls6qILM_nMnpFB1z3SFNeLhhYhtPjyXUwhugQxAjJZHi3GqJ1NlWgQ/s1600/Bissetriz+externa+Teorema1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC8Eta7ot4zKgqKHHo3eON_yyZit29jz5aLSo1yoOlPv6iC_xi0_eFfEL_koiyh9AC9m-bDqmTTflPbpE8Y8Us0Ls6qILM_nMnpFB1z3SFNeLhhYhtPjyXUwhugQxAjJZHi3GqJ1NlWgQ/s1600/Bissetriz+externa+Teorema1.gif" /></a></div>
<br />
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
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Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-239279520523108472015-05-17T18:49:00.001-03:002015-05-17T18:56:16.929-03:00Como encontrar a raiz quadrada de números construtíveis usando régua e compasso.<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">Quando procuramos na internet informações sobre como extrair a raiz quadrada de números construtíveis* encontramos “receitas” que nos mostram como efetuar a raiz quadrada de números como os primos
entre outros. Porém, dificilmente encontramos a base para tal. Assim,
nosso objetivo será mostrar a justificativa para o processo de construção geométrica que resulta na raiz quadrada
de um determinado número, de forma simplificada.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">* </span>Dizemos que um número real x é construtível , se x = 0
ou se for possível construir, com régua e compasso, através de um número finito desses
procedimentos, um segmento de comprimento igual a |x|, a partir de um segmento de reta
tomado como a unidade.
</div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNO502-XhmwyKxoAzZBi4_jCszQ7GVCjoD4zza2lDYSf-TWl_qBhJ5wIL0ACcvvERiYvjjju-O-mdnMtIQ_1YZyT0j3QNRxgwoJgBuh6uj94RxiCChY2rafi4goOQvJBm1zc_A-4dtuu8/s1600/2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="473" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNO502-XhmwyKxoAzZBi4_jCszQ7GVCjoD4zza2lDYSf-TWl_qBhJ5wIL0ACcvvERiYvjjju-O-mdnMtIQ_1YZyT0j3QNRxgwoJgBuh6uj94RxiCChY2rafi4goOQvJBm1zc_A-4dtuu8/s640/2.png" width="640" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;">Justificativa:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;">Primeiramente, observe que o triângulo <i>OPB</i> está inscrito na circunferência de cento M, como<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOcShQQj4pshg4TlULKOSGUp1TU3EXSrfgusBZnRW3lamOckP9fCZVS-YXd4FMaGXlAPC9gtQvliwx-uOINX3VdzcGI__5cshH94yvY-IknCifRgmMmbofRyBh8yxoWdL1sNvjSFuhK1k/s1600/4.png" /> corresponde à base do triângulo, bem como, ao diâmetro da circunferência, o triângulo <i>OPB</i> é retângulo em <i>P</i>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHxAspUNuSApA6mkpxi_sPTfmyjfEieowYnIRA7TnU-9nr96GXvbYSC7kORPcBYfeocJcKjTIRRApuI6ksMogzlpaAVh9rJd25neKo5tM-EbAt6Ikf13Op3dqb2n17Ft2UuLfTf9GcrWk/s1600/3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHxAspUNuSApA6mkpxi_sPTfmyjfEieowYnIRA7TnU-9nr96GXvbYSC7kORPcBYfeocJcKjTIRRApuI6ksMogzlpaAVh9rJd25neKo5tM-EbAt6Ikf13Op3dqb2n17Ft2UuLfTf9GcrWk/s320/3.png" width="320" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;">Como sabemos disso? Traçando um segmento do ponto P ao M e lançando um olhar sobre os ângulos formados como a seguir:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8K_dsVAPSwFZOvnT7YTZe8wa5aOkKHbHdmUtmf6VF0sZqEomtM03lu6kzJSvb_56-rZGs_s3apgQ3kuid9rLkgSQB25nUh76P353fknpuwOdeowKgehoLk4urStEOBj3T7YXqNgXapdk/s1600/5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="316" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8K_dsVAPSwFZOvnT7YTZe8wa5aOkKHbHdmUtmf6VF0sZqEomtM03lu6kzJSvb_56-rZGs_s3apgQ3kuid9rLkgSQB25nUh76P353fknpuwOdeowKgehoLk4urStEOBj3T7YXqNgXapdk/s320/5.png" width="320" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjl6pQFXAyQAKlkI0vbZH1hMDAysQR0AhMdOR6I2YPyauBYbJtHZag56k78BL18RamQG-0UdTQSM8Vr-ZjJrL1QyC6Lzgs5K0jtqqJi2UjaPm3QI5ThLS9eEkfI6loRyVFPe9iig6PB9JU/s1600/6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjl6pQFXAyQAKlkI0vbZH1hMDAysQR0AhMdOR6I2YPyauBYbJtHZag56k78BL18RamQG-0UdTQSM8Vr-ZjJrL1QyC6Lzgs5K0jtqqJi2UjaPm3QI5ThLS9eEkfI6loRyVFPe9iig6PB9JU/s1600/6.png" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Das relações métricas do triângulo retângulo temos que </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAKvZE0UqLx063v18rxDCvw2WXDtt9DNJ_1QvEEOvPAkIX7yyKwVwLFXEZa4Dusjp91qgf9lTI7oCiIW1-sAEaLHXUduNLAVfhsfNrFXhVGARRUyiUhvYtw_WB8oSdKl2a-HRlNyzu6c4/s1600/7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="143" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAKvZE0UqLx063v18rxDCvw2WXDtt9DNJ_1QvEEOvPAkIX7yyKwVwLFXEZa4Dusjp91qgf9lTI7oCiIW1-sAEaLHXUduNLAVfhsfNrFXhVGARRUyiUhvYtw_WB8oSdKl2a-HRlNyzu6c4/s320/7.png" width="320" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFLCUaOlyV4b2puBwt8rBijMEHi_gG4BlBDE1R6PmIGMsNyojTkVhyb80OLEjqKqvBx2lDXF7oMaHVCx645MNgnVHNsj19vWNoLlUdR-1z4_fl4vxb3hIuM9m3Am95LhQCqy4tBtnG1P0/s1600/8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFLCUaOlyV4b2puBwt8rBijMEHi_gG4BlBDE1R6PmIGMsNyojTkVhyb80OLEjqKqvBx2lDXF7oMaHVCx645MNgnVHNsj19vWNoLlUdR-1z4_fl4vxb3hIuM9m3Am95LhQCqy4tBtnG1P0/s1600/8.png" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;">Voltando à construção dada na "receita" temos que para obter a raiz quadrada de um determinado número construtível, tomamos uma reta, nela marcamos os pontos <i>O</i> e <i>A </i>que determinam um segmento de uma unidade, adicionamos o ponto <i>B</i>, para que <i>AB</i> seja de medida igual ao valor que desejamos extrair a raiz, na mesma reta. O segmento determinado pelos pontos <i>O</i> e <i>B</i> corresponde à base de um triângulo retângulo e ao mesmo tempo ao diâmetro da circunferência que circunscreve este triângulo. O ponto <i>P</i>, na circunferência, determina o ângulo reto e pertence à reta perpendicular ao diâmetro passando pelo ponto <i>A</i>. A distância do ponto <i>P</i> à base do triângulo corresponde ao valor procurado. Visto que, pelas relações métricas do triângulo retângulo, <i>h²=a.b</i>, como <i>b=1</i>, <i>h</i> é a raiz quadrada de <i>a</i>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;">Acreditamos que desta forma está plenamente justificada a construção inicial.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
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Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-55864090714048516482013-02-18T12:42:00.000-03:002015-04-02T21:00:35.489-03:00Como abrir um túnel se você sabe Geometria*<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<div>
<i style="text-align: -webkit-right;"><b><span style="font-family: Times New Roman; font-size: small;"><span style="color: #009240;"> Euclides Rosa </span></span></b></i><b style="text-align: -webkit-right;">Colégio D. João VI, Rio de Janeiro</b><br />
<br />
<span style="font-family: inherit;">A ilha de Samos, que ainda pertence à Grécia, fica a menos de 2 quilômetros da Costa da Turquia. Há 2.500 anos, toda aquela região era habitada por gregos. Samos passou à História por ser a terra natal de Pitágoras, mas não é dele que vamos falar. O herói do nosso episódio nem ao menos era matemático. Seu nome era Eupalinos e, nos dias atuais, seria chamado de engenheiro. Ele será focalizado aqui por ter sabido usar, com bastante sucesso, um fato elementar de Geometria Plana para resolver um problema de Engenharia e assim contribuir para o bem-estar de uma comunidade.</span></div>
<div>
<span style="font-family: inherit; text-align: center;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: inherit; text-align: center;">O exemplo de Eupalinos merece ser conhecido pelos leitores da Revista do Professor de Matemática por dois motivos: fornece um tópico interessante para ilustrar nossas aulas e mostra como o conhecimento matemático, mesmo quando de natureza teórica, pode ter influência decisiva no progresso tecnológico.</span></div>
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">O teorema de Geometria usado por Eupalinos foi o seguinte:</span><br />
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit;">Se <i>dois triângulos retângulos têm catetos proporcionais, seus ângulos agudos são iguais.</i></span></div>
<div>
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGQTXVpA2vnlp5YHYGlOiVAz0PuGadJlQMMP90g56kmEDVOeZPzfTL_jRjb4IKC-4RmU9i315P8LZvYczMQov8Ayu4K9MqpP2u5XIwx9pxnWFYteR0Ofdxu1ap09FQlK2Q7cjItHXCEvs/s1600/eupalinos+1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGQTXVpA2vnlp5YHYGlOiVAz0PuGadJlQMMP90g56kmEDVOeZPzfTL_jRjb4IKC-4RmU9i315P8LZvYczMQov8Ayu4K9MqpP2u5XIwx9pxnWFYteR0Ofdxu1ap09FQlK2Q7cjItHXCEvs/s400/eupalinos+1.gif" height="120" width="400" /></span></a></div>
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
<br />
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgC1Jr7hQJ6Vdt7_BFZGlFaMIr43GVocqujkg6mdQUZ5CYGVZkZ_44X0WLxsShacfNaE702XnEHN63KY4FnRcO7iLseWgWBZUO3CiLPKp-RgPDHHKvq8OIKLad4MyaVp0LjqTnx4Ukx3U/s1600/eupalinos+2.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgC1Jr7hQJ6Vdt7_BFZGlFaMIr43GVocqujkg6mdQUZ5CYGVZkZ_44X0WLxsShacfNaE702XnEHN63KY4FnRcO7iLseWgWBZUO3CiLPKp-RgPDHHKvq8OIKLad4MyaVp0LjqTnx4Ukx3U/s400/eupalinos+2.gif" height="41" width="400" /></a></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
</div>
<div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Como se sabe, este é um caso particular de semelhança de triângulos. [Os triângulos dados têm um ângulo (reto) igual, compreendido entre lados proporcionais.]</span></div>
</div>
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;">Para sermos exatos, Eupalinos não usou precisamente o teorema acima e sim uma sua conseqüência imediata, que enunciaremos agora:</span></div>
</div>
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: -9px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;"><span style="font-size: small;"><i>Sejam</i> abc e a’b’c’ <i>triângulos retângulos com um vértice comum. Se os catetos </i>b<i> e </i>c’</span><i> são perpendiculares e, além disso b/c=b'/c', então as hipotenusas a e a' estão em uma linha reta. </i></span></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAYLM8RhAnDYF8_w4pKoiuqVr0nVU8CCfm-2QOTrcEao1VBVMnVrld_XL-jobhDD_JL_8KYSeiIFguwBX__EhZ_NX4ZpVdRHRGLYN149NgWZ_ukv1MuBAGMAZ-VGjcYs09st0GF4E-I-c/s1600/eupalinos+3.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAYLM8RhAnDYF8_w4pKoiuqVr0nVU8CCfm-2QOTrcEao1VBVMnVrld_XL-jobhDD_JL_8KYSeiIFguwBX__EhZ_NX4ZpVdRHRGLYN149NgWZ_ukv1MuBAGMAZ-VGjcYs09st0GF4E-I-c/s320/eupalinos+3.gif" height="320" width="263" /></span></a></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">A afirmação acima decorre imediatamente da anterior pois a soma dos ângulos em torno do vértice comum aos dois triângulos é igual a dois ângulos retos.</span><br />
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Retomemos nossa história. Ela se passa em Samos, ano 530 a.C. O poderoso tirano Polícrates se preocupava com o abastecimento de água da cidade. Havia fontes abundantes na ilha, mas ficavam do outro lado do monte Castro; o acesso a elas era muito difícil para os habitantes da cidade. Decidiu-se abrir um túnel. A melhor entrada e a mais conveniente saída do túnel foram escolhidas pelos assessores de Polícrates. Eram dois pontos, que chamaremos de A e B respectivamente. Cavar a montanha não seria árduo, pois a rocha era calcárea e não faltavam operários experientes. O problema era achar um modo de sair do ponto A e, cavando, chegar ao ponto B sem se perder no caminho.</span><br />
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Eupalinos, encarregado de estudar a questão, surpreendeu a todos com uma solução simples e prática. Além disso, anunciou que reduziria o tempo de trabalho à metade propondo que se iniciasse a obra em duas frentes, começando a cavar simultaneamente nos pontos A e B, encontrando-se as duas turmas no meio do túnel!</span><br />
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Disse e fez. O túnel, construído há 25 séculos, é mencionado pelo historiador grego Heródoto. Em 1882, arqueólogos alemães, escavando na ilha de Samos, o encontraram. Ele tem um quilômetro de extensão, sua seção transversal é um quadrado com 2 metros de lado, com uma vala funda para os canos d’água e aberturas no teto para renovação do ar e limpeza de detritos.</span><br />
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Mas como Eupalinos conseguiu, partindo simultaneamente de A e B, traçar uma reta ligando esses pontos, através da montanha?</span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Na figura a seguir, o contorno curvilíneo representa o monte, A é o ponto de entrada e B é a saída do túnel.</span><br />
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">A partir do ponto B fixa-se uma direção arbitrária BC e, caminhando ao longo de uma poligonal BCDEFGHA, na qual cada lado forma um ângulo reto com o seguinte, atinge-se o ponto A, tendo evitado assim as áreas mais escarpadas da montanha. (Não é difícil imaginar um instrumento ótico rudimentar que permita dar com precisão esses giros de 90 graus.)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: right;">
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px;">
<div style="text-align: right;">
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px;">
<table border="0" bordercolor="#111111" cellpadding="0" cellspacing="0" id="AutoNumber1" style="border-collapse: collapse; text-align: right; width: 580px;"><tbody>
<tr><td width="100%"><div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit;"><span style="font-size: small;"><br /></span>
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAV9vaQRUN5Zx5YwINAxkhyphenhyphenjhV7eggebW4mvoNCldMY36HvywYmv4eTyjbv_05pv1XB_SPH1_qWHyIB5q_sa81vbzzwrO8H5bgO7puS8MWi-f-_ztVAPEVoX74kmS9OcNkNqtKCzG8Ruo/s1600/eupalinos+4.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAV9vaQRUN5Zx5YwINAxkhyphenhyphenjhV7eggebW4mvoNCldMY36HvywYmv4eTyjbv_05pv1XB_SPH1_qWHyIB5q_sa81vbzzwrO8H5bgO7puS8MWi-f-_ztVAPEVoX74kmS9OcNkNqtKCzG8Ruo/s1600/eupalinos+4.gif" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px;">
<div style="text-align: right;">
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px;">
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px;">
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit;">Anotando-se o comprimento de cada um dos lados da poligonal, determinam-se facilmente os comprimentos dos catetos AK e KB do triângulo retângulo AKB no qual AB é a hipotenusa e os catetos têm as direções dos lados da poligonal considerada. Calcula-se então a razão r = AK/KB. A partir dos pontos A e B, constroem-se dois pequenos triângulos retângulos cujos catetos ainda tenham as direções dos lados da poligonal e, além disso, em cada um desses triângulos, a razão entre os catetos seja igual à razão r entre os catetos do triângulo AKB.</span></div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit; font-style: italic;"><br /></span></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit; font-style: italic;"><br /></span></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit; font-style: italic;"><br /></span></div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin-bottom: -30px; margin-right: 5px;">
<div style="text-align: right;">
<i><span style="font-family: inherit;"><br /></span></i></div>
</div>
</div>
<div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit;"><span style="font-size: small;"><i><br /></i></span>
</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikqXozM9VZ0lIUakRlrmquGAod3MnOwoSCm58MKuv8yI2a-VZlIVy7fu6KL959D_llwAJnijT0-0iKD6szZ9JjGtP0RenNqHOS39SF5V1ZD1286M_0gkSA2lgSnwbPHDRcuKLdY5PKtDc/s1600/eupalinos+5.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikqXozM9VZ0lIUakRlrmquGAod3MnOwoSCm58MKuv8yI2a-VZlIVy7fu6KL959D_llwAJnijT0-0iKD6szZ9JjGtP0RenNqHOS39SF5V1ZD1286M_0gkSA2lgSnwbPHDRcuKLdY5PKtDc/s320/eupalinos+5.gif" height="320" width="254" /></span></a></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 21px; margin-bottom: 22px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Agora é só cavar o morro, a partir dos pontos A e B, na direção das hipotenusas dos triângulos pequenos.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 21px; margin-bottom: 22px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Isto resolve o problema se os pontos A e B estiverem no mesmo nível: cava-se sempre na horizontal e o plano horizontal é fácil de determinar, por meio de vasos comunicantes ou por outros processos.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 21px; margin-bottom: 22px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Em geral, A e B não estão no mesmo nível. No caso em questão, é obviamente desejável que B seja mais baixo e sem dúvida levou-se isto em conta na sua escolha como ponto de saída. Mas é fácil calcular d = diferença de nível entre A e B. Basta ir registrando, à medida que se percorre a poligonal BCDEFGHA, a diferença de nível entre cada vértice e o seguinte.</span></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvPDUV58Elt42_yn9Bctgu5Awj2USY3IzUP24vupcvrwr5k5b_fqwz1Zo30Hw-lCW9Vx57n9ljQyhcahTf-ey77wNWvd3jocpkET7YqPEpD7i5HYt6dcejEXgvYP2ZSSrkU2eg-9i1Df4/s1600/eupalinos+6.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvPDUV58Elt42_yn9Bctgu5Awj2USY3IzUP24vupcvrwr5k5b_fqwz1Zo30Hw-lCW9Vx57n9ljQyhcahTf-ey77wNWvd3jocpkET7YqPEpD7i5HYt6dcejEXgvYP2ZSSrkU2eg-9i1Df4/s320/eupalinos+6.gif" height="185" width="320" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;">Tendo d, consideramos o triângulo retângulo AMB, no qual o cateto AM é vertical e tem comprimento d. O comprimento da hipotenusa AB se determina pelo teorema de Pitágoras (a partir dos catetos do triângulo AKB).</span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu0-1YzvE-PcDAP_zzyh7TSidsdk7QbGxMjAY2202SCHWGAxjUbq0vxfYOoMd_b5h2mXjpd4ph-c8bq6tgvScIs3ckm7jROI8za3SxC2aDq3D_us7FAY_eUh6MyQ7nWbGGhIwULqP6rv8/s1600/eupalinos+7.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-family: inherit;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu0-1YzvE-PcDAP_zzyh7TSidsdk7QbGxMjAY2202SCHWGAxjUbq0vxfYOoMd_b5h2mXjpd4ph-c8bq6tgvScIs3ckm7jROI8za3SxC2aDq3D_us7FAY_eUh6MyQ7nWbGGhIwULqP6rv8/s320/eupalinos+7.gif" height="142" width="320" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">A razão AM/AB = s diz como se deve controlar a inclinação da escavação: cada vez que andarmos uma unidade de comprimento ao longo do túnel, o nível deve baixar s unidades.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">O mais notável desse raciocínio teórico é que ele foi posto em prática e funcionou. O túnel sob o monte Castro lá está, para quem quiser ver, na majestade dos seus dois mil e quinhentos anos de idade.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Honestamente, devemos esclarecer que as duas extremidades das escavações não se encontraram exatamente no mesmo ponto. Isto seria esperar demais da precisão dos instrumentos então existentes. Houve um erro de uns 9 metros na horizontal e 3 metros na vertical. Desvios insignificante convenhamos. Além disso, esse erro tem dois aspectos interessantes. Em primeiro lugar, constitui uma prova de que o túnel foi realmente cavado em duas frentes. Em segundo lugar, a ponta que começou em B chegou mais baixa do que a que começou em A, o que permitiu formar uma pequena cachoeira, sem interromper o fluxo de água de A para B. Isto nos deixa quase certos de que esse erro na vertical está ligado ao cuidado dos construtores em não deixar as pontas se encontrarem com a saída mais alta do que a entrada, o que causaria um problema desagradável.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: small;">Para encerrar, uma pergunta: como sabemos destas coisas? Eupalinos não deixou obras escritas. Mas Heron de Alexandria publicou muitos livros, alguns deles ainda hoje existentes. Um desses livros é sobre um instrumento de agrimensura chamado dioptra. Nele, Heron descreve o processo que expusemos acima. Em seu todo, os livros escritos por Heron formam uma enciclopédia de métodos e técnicas de Matemática Aplicada, sintetizando o conhecimento da época. Outros livros, talvez menos completos, certamente foram publicados antes com propósitos semelhantes e não se pode deixar de supor que a construção de Eupalinos tenha figurado entre essas técnicas.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: small;"><b>Referências:</b></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: x-small;">1. Fernando Trotta, Luiz Márcio Pereira Imenes e José Jakubovic – <i>Matemática Aplicada</i>, vol. 1. Editora Moderna, S. Paulo, 1979. Esse livro contém (págs. 193 a 196) uma discussão do problema do túnel usando trigonometria, bem como uma breve apresentação do método por nós exposto. De um modo geral, os 3 volumes de Trotta, Imenes e Jakubovic são altamente recomendáveis pela abundância de exemplos e aplicações da Matemática a nível de estudantes do segundo grau.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: x-small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: x-small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: x-small;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: x-small;">2. </span><span style="font-size: x-small; text-align: left;">Hans Freudenthal – Perpectivas da Matemática – Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1975. Uma série de tópicos independentes, que podem servir de inspiração e fonte de informação aos interessados por Matemática. O problema do túnel é um dos primeiros abordados nesse livro.</span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-small; text-align: left;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-small; text-align: left;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-small; text-align: left;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-small; text-align: left;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div style="line-height: 17px; margin-bottom: -12px; margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Times New Roman; font-size: x-small;">B.L. van der Waerden – Science Awakening. Noordhoff, 1954. Uma exposição clara e acessível dos primórdios da Ciência no mundo ocidental, começando com sumérios e babilônios, indo até os gregos. O primeiro texto moderno a contar a história de Eupalinos.</span></div>
</div>
</div>
<div style="margin-right: 5px; text-align: justify;">
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<i>* Artigo extraído da RPM 05 (Revista do professor de Matemática) <span style="text-align: justify;"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif;">uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática com apoio da USP – Universidade de São Paulo.</span></span></i></div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-32030424808158880252012-08-14T00:13:00.000-03:002015-04-02T20:57:07.118-03:00Cossecante - Demonstração usando o Círculo Trigonométrico<p:colorscheme colors="#ffffff,#000000,#808080,#000000,#bbe0e3,#333399,#009999,#99cc00">
</p:colorscheme><br />
<div class="O" v:shape="_x0000_s1026">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyVg2Y0QTPJL1UisQ_bBcCHs0k_sfRN5y7VJfxquOXotVsay1qo7MNcax87pFIuyHeKitdF7p6xHCyHo7WiLHRi3f9nljD8V_ZoILY36yoInnybnXS8n1FvGFmCCjK1qdNVEZ8Y6jlfRM/s1600/Cossec(a).jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyVg2Y0QTPJL1UisQ_bBcCHs0k_sfRN5y7VJfxquOXotVsay1qo7MNcax87pFIuyHeKitdF7p6xHCyHo7WiLHRi3f9nljD8V_ZoILY36yoInnybnXS8n1FvGFmCCjK1qdNVEZ8Y6jlfRM/s1600/Cossec(a).jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyVg2Y0QTPJL1UisQ_bBcCHs0k_sfRN5y7VJfxquOXotVsay1qo7MNcax87pFIuyHeKitdF7p6xHCyHo7WiLHRi3f9nljD8V_ZoILY36yoInnybnXS8n1FvGFmCCjK1qdNVEZ8Y6jlfRM/s320/Cossec(a).jpg" height="320" width="320" /></a></div>
<br />
<div>
<b>Definição:</b> <b>cossec(α) = 1/sen(α)
</b></div>
<div>
<br /></div>
<div>
</div>
<div>
Demonstração usando o
Círculo Trigonométrico. </div>
<div>
</div>
<div>
Os ângulos <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Ð</span>AOD ≡ <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Ð</span> OA (alternos internos já que BA//OD
)</div>
<div>
<span lang="EL" style="font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial;">α</span>+<span lang="EL" style="font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial;">β</span> = 90° <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Þ</span> <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Ð</span> OCA = α
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
</div>
<div>
Olhando para os triângulos ∆OAB e ∆OCA, temos que
</div>
<div>
<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Ð</span> OAC ≡ <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Ð</span> OBA (retos) (1)
</div>
<div>
<span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Ð</span> OAB ≡ <span style="font-family: Symbol; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol;">Ð</span> OCA = α (2)
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
</div>
<div>
De (1) e (2) temos que ∆OAB ~ ∆OCA (Pelo caso AA de semelhança de triângulos).
</div>
<div>
</div>
<div>
Então OC/OA=OA/OB.</div>
<div>
Como OC =cossec(α), OA = 1 e OB = sen(α), temos que
cossec(α) =1/sen(α) como queríamos.</div>
</div>
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote>
</blockquote>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-67880416660542105092011-04-16T10:31:00.002-03:002015-04-02T20:57:29.327-03:00O Problema dos Abacaxis *<div class="MsoNormal">
Dois camponeses, A e B, encarregaram um feirante de vender duas partidas de abacaxis. O camponês A entregou 30 abacaxis, que deviam ser vendidos à razão de 3 por R$1,00; B entregou, também 30 abacaxis para os quais estipulou preço um pouco mais caro, isto é à razão 2 por R$1,00.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Era claro que efetuada a venda, o camponês A devia receber R$ 10,00 e o camponês B, R$ 15,00. O Total da venda seria, portanto, R$25,00.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Ao chegar, porém, à feira, o encarregado sentiu-se em dúvida.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
- Se eu começar a venda pelos abacaxis mais caros, pensou, perco a freguesia; se inicio a venda com os abacaxis mais baratos,encontrarei, depois, dificuldade para vender outros. O melhor que tenho a fazer é vender as duas partidas ao mesmo tempo.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Chegando a esta conclusão, o atilado feirante reuniu os 60 abacaxis e começou a vendê-los aos grupos de 5 por R$ 2,00. O negócio era justificado por um raciocínio simples:</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
- Se eu deveria vender 3 por R$1,00 e depois 2 por R$ 1,00, seria mais simples vender, logo, 5 por 2,00, isto é , à razão de R$ 0,40 cada um.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Vendido os 60 abacaxis, o feirante apurou R$ 24,00.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Como pagar os dois camponeses se o primeiro devia receber R$ 10,00 e o segundo 15,00?</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
Havia uma diferença de R$1,00 que o homenzinho não sabia como explicar.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
E, intrigadíssimo com o caso, repetia dezenas de vezes o raciocínio sem descobrir a razão da diferença.</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
-Vender 3 por R$ 1,00 e depois vender 2 por R$ 1,00 é o mesmo que vender 5 por R$ 2,00!</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
E o raio da diferença surgiu da quantia total! E o feirante ameaçava a Matemática com pragas terríveis.</div>
<div class="MsoNormal">
<br />
A solução do caso é simples e aparece, perfeitamente indicada, na figura abaixo. No retângulo superior estão indicados os abacaxis de A e no retângulo inferior, de B.<br />
<br />
O feirante só dispunha- como a figura mostra - de 10 grupos que podiam ser vendidos, sem prejuízo, à razão de 5 por R$ 2,00. Vendidos estes 10 grupos restavam 10 abacaxis que pertenciam exclusivamente ao camponês B e portanto não podiam ser vendidos senão 2 por R$ 1,00.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgH5-LUE1av6TXjBWTL43bxjNDoEAKZquvjGcDB8JOKHpw2l4DfiK6Sc_Adj4H_-TuO0IPm0bbxW3b9iePWv5KyTc-acIs5iwatWcCQTE4fBb5njQQvipoAeT9Y55E7vW9qh6u6q7ufvBA/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgH5-LUE1av6TXjBWTL43bxjNDoEAKZquvjGcDB8JOKHpw2l4DfiK6Sc_Adj4H_-TuO0IPm0bbxW3b9iePWv5KyTc-acIs5iwatWcCQTE4fBb5njQQvipoAeT9Y55E7vW9qh6u6q7ufvBA/s320/Slide1.GIF" height="123" width="320" /></a></div>
<br />
Resultou daí a diferença que o camponês verificou ao terminar o negócio, e que nunca pode explicar!<br />
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
*"O Problema dos Abacaxis" - Texto adaptado do livro <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Matemática Divertida e Curiosa</b>- Prof.Julio César de Mello e Souza ed. Record - 27a. edição. </div>
<a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote>
</blockquote>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-47148227135642729362011-04-13T10:43:00.003-03:002015-04-02T20:57:37.016-03:00Princípio de Indução<b>Suponhamos que para cada n≥a está dada uma afirmação A(n) de forma que:</b><b><a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a></b><br />
<blockquote>
</blockquote>
<div>
<b>i) A(a) é verdadeira.</b></div>
<div>
<b>ii) Se A(a) é verdadeira para todo inteiro m tal que a≤m≤k então A(k+1) é verdadeira.</b></div>
<div>
<b><br />
</b></div>
<div>
<b>Então A(n) é verdadeira para todo inteiro n≥a.</b></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Demonstração:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Dado um conjunto S com todos os inteiros maiores ou iguais a <i>a. </i>Afirmamos que 1+2+..+n = n(n+1)/2</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Verificando para n=1</div>
<div>
n(n+1)/2 = 1(1+1)/2 = 1</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Assim, a afirmação de que a somatória de todos elementos de 1 a n dada por n(n+1)/2, é válida para n=1. Queremos provar que a afirmação também é válida para n=k+1.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Estamos admitindo que 1+2+...+k = k(k+1)/2</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Vamos somar k+1 de ambos os lados</div>
<div>
<br /></div>
<div>
1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)</div>
<div>
= [k(k+1)+2(k+1)]/2</div>
<div>
= (k+1)(k+2)/2</div>
<div>
=(k+1)((k+1)+1)/2</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Que é a fórmula correspondente a n=k+1, como queríamos demonstrar.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-46526517917944926302011-04-03T08:58:00.002-03:002011-04-03T09:32:22.181-03:00O Último Teorema de Fermat (documentário)<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Z9ymAHAY-zE?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/l79IYV2Rk18?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/yzBimIT02pk?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/q-7cyEO8uW0?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/EOUFFzQ7IOI?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div style="text-align: center;"><br />
</div><a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote></blockquote>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-39704597438950840302011-03-29T19:59:00.004-03:002015-04-02T20:53:02.098-03:00Raízes de Primos<div>
<ul>
<li><b>Dado um número <i>p</i> primo, provar que <b>√</b><i>p</i> não pode ser escrito da forma <i>a/b</i>, com <i>a</i> e <i>b</i> inteiros, <i>b</i><span style="font-family: 'Times New Roman';">≠0 e MDC(<i>a,b</i>)=1.</span></b></li>
</ul>
<a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote>
</blockquote>
</div>
<div>
Primeiro ponto a lembrar é que raízes<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"> de números primos são números irracionais, logo não podem ser escritos em forma de frações, portanto, é isto que precisamos provar. Quanto à afirmação que MDC(a,b)=1, isto indica que <i>a</i> e <i>b</i> são primos entre si, ou seja, trata-se de uma fração irredutível. Exemplos: 3/4; 14/15, etc.</span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><b>Resolução:</b></span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><b><br />
</b></span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;">Vamos fazer a prova por absurdo, primeiro para um caso específico, depois um mais geral.</span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-size: small;">Sendo <b>2</b> primo, suponhamos que </span><b>√<i>2</i></b><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"> </span><i> </i>possa ser escrito da forma<i> <b>a/b</b>,</i> MDC(<i>a,b</i>)=1. Então:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>√</b><i><b>2 = a/b </b> </i>( elevando os dois lados ao quadrado)</div>
<div>
<b><i>2 = a²/b² </i> </b> (multiplicando ambos os lados por b²)</div>
<div>
<i><b>2b² = a² </b></i></div>
<div>
<i><br />
</i></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Logo,<i><b> a²</b></i> é um número par , assim <i><b>a</b></i> também é par e pode ser escrito da forma<b> <i>a=2k, k</i></b> um número inteiro. </span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Então,</span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><br />
</span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><i><b>2b² = (2k)²</b> </i></span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><i><b>2b²=4k² </b> (</i>dividindo ambos os lados por 2)</span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><b><i>b²=2k² </i></b></span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><i><br />
</i></span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Disso podemos concluir que<i><b> b² </b></i>é um número par, portanto<i><b> b</b> </i>é par. </span></div>
<div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Mas, se <b><i>a </i> </b>é um número par e <b><i>b</i></b> também é um número par, a fração <i><b>a/b</b></i> pode ser reduzida, o que é um absurdo pois, afirmamos no começo que MDC(<i>a,b</i>)=1.</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Fazendo agora para o caso geral:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>√</b><i><b>p = a/b</b> </i>(elevando ambos os lados ao quadrado)</div>
<div>
<i><b>p=a²/b² </b> (</i> multiplicando ambos os lados por b²)</div>
<div>
<i><b>b².p=a²</b> </i></div>
<div>
<i><br />
</i></div>
<div>
<i></i>Isso indica que <i><b>p</b> </i>pode dividir <i><b>a²</b> </i>, logo, também pode dividir<i> <b>a</b>.</i> Mas os fatores de <i><b>a</b></i> são os mesmos de <i><b>a²</b></i> só que elevados a uma potência par. Então podemos reescrever o número <i><b>a² </b></i>como <i><b>a²=p^(2k).x</b></i>, (leia-se <i><b>a</b></i> ao quadrado é igual a <b>p</b> elevado a <i><b>2k</b></i> vezes <i><b>x</b></i>) onde <i><b>x</b> </i>é o produto dos demais fatores de <i><b>a</b> </i>e<i> <b>k </b></i>um número inteiro, já que não sabemos quantas vezes <i><b>p</b></i> aparece como fator de <i><b>a</b></i> . Então,</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<i><b>b².p=a² </b></i></div>
<div>
<i><span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;"><i><b>b².p=p^2k.x</b></i></span></i></div>
<div>
<i><span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;"><i><br />
</i></span></i></div>
<div>
Mas<i style="font-style: normal;">, </i><i><span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;"><i><b>b².p=p^2k.x</b></i></span></i><i><span class="Apple-style-span" style="font-style: normal;"><i> </i></span></i><i style="font-style: normal;"> </i>indica que <i style="font-style: normal;"> </i><i><b>p</b> </i>também é fator primo de <b>b²</b>, por conseguinte de<i><b> b</b></i>. Como concluímos que tanto <i><b>a</b></i> como<b> <i>b</i></b> possuem <b><i>p</i> </b> entre seus fatores primos, isso indica que a fração <b><i>a/b</i> </b>é redutível, o que é um absurdo pois MDC(<i>a,b</i>)=1.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Logo, <b>√</b><i style="font-weight: bold;">p </i> é<i> </i>um número irracional.</div>
<div class="MsoNormal">
<sup><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><o:p></o:p></span></sup></div>
<div class="MsoNormal">
<sup><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"><o:p></o:p></span></sup></div>
<div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-41757087355017505712011-03-25T18:35:00.004-03:002011-03-29T00:29:55.577-03:00MDC / MMC<a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote><br />
</blockquote><br />
<strong>DIVISORES NATURAIS</strong> de um número <strong>n</strong><br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglayOPR2SHAxza83QOOmA6y0KZLp0B3DB6EpPScifeleMHyvCWAk_bNGktaEPRQN0GsqMPI54PfbHxai_K6g4ICvWqWbAuX2cbF6XradYJGaF4jsX31m4ONDxv0aIDZkMVOyZjDXaYmBw/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418404868003531634" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglayOPR2SHAxza83QOOmA6y0KZLp0B3DB6EpPScifeleMHyvCWAk_bNGktaEPRQN0GsqMPI54PfbHxai_K6g4ICvWqWbAuX2cbF6XradYJGaF4jsX31m4ONDxv0aIDZkMVOyZjDXaYmBw/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 42px; width: 320px;" /></a><br />
com <strong>a, b, c</strong> primos e com <strong>r, s, t</strong> pertencentes aos naturais, temos que o número de divisores naturais de <strong>n</strong> será dado por:<br />
<strong>nD(n)=(r+1).(s+1).(t+1)...</strong><br />
<br />
Exemplo:<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8TGQmEYKDBcdqJMENw-rjCP-T8z_vU7MAM-dYdajsiEpc5dcXAkLHZr7mRaSyFa0xKzlLATc8WOAob6dzxVb2HOVzJi-6hepaLEtPAfJwzbJaWAI2U0FaCco6nap1gHEoGghNjdn7oD8/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418406282838630546" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8TGQmEYKDBcdqJMENw-rjCP-T8z_vU7MAM-dYdajsiEpc5dcXAkLHZr7mRaSyFa0xKzlLATc8WOAob6dzxVb2HOVzJi-6hepaLEtPAfJwzbJaWAI2U0FaCco6nap1gHEoGghNjdn7oD8/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 56px; width: 320px;" /></a><br />
<br />
Como verificamos que os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12, dividem 12, logo o número de divisores de 12 é 6.<br />
<br />
<strong>MDC - Màximo Divisor Comum</strong>.<br />
<br />
Quando <strong>fatoramos</strong> dois números, como o exemplo abaixo, verificamos que eles possuem divisores em comum:<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Uf5if21VdKagr2r7jPUt3W9V0Fq66OBsZwWGD2AK4gmTZrcfMv5ufTdJ8wp527Bj1FTuwf8Nz3x7GER0L0tAw3-69ZQYYmDcqssuvlD0bR8XMUtna9z1yv4xa1FEhtWCvsD_9OEoqwI/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418421371431092018" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6Uf5if21VdKagr2r7jPUt3W9V0Fq66OBsZwWGD2AK4gmTZrcfMv5ufTdJ8wp527Bj1FTuwf8Nz3x7GER0L0tAw3-69ZQYYmDcqssuvlD0bR8XMUtna9z1yv4xa1FEhtWCvsD_9OEoqwI/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 111px; width: 320px;" /></a><br />
<br />
Notamos que o maior divisor comum entre 24 e 30 é o número 6.(MDC(24,30)=6)<br />
<br />
Mas, quando se trata de números maiores, fica difícil encontrar o máximo divisor em comum por simples fatoração, para tanto existe um algorítimo mais prático, vamos dar um exemplo encontrando o MDC(38,24):<br />
<br />
Primeiro constuímos uma grade com três linhas e adicionamos as colunas conforme a necessidade. A primeira linha será do quociente, a segunda do dividendo/divisor e a terceira do resto. <br />
<br />
Colocamos inicialmente o número maior (dividendo) depois o menor como (divisor), <br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiAxPVsFvH0MGVR9ORVbInLrffyiod3FW5D86eFDD3YQK1GzV80jSUhLAzCAQlIrcKevKA3ioTfJWavoJlLo2XyzLCpyA5W6jevNZkubbVz1Y_n5WXzaNFqvkve2_KIuCZ4Te7N6wpCy8/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418440850534233458" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiAxPVsFvH0MGVR9ORVbInLrffyiod3FW5D86eFDD3YQK1GzV80jSUhLAzCAQlIrcKevKA3ioTfJWavoJlLo2XyzLCpyA5W6jevNZkubbVz1Y_n5WXzaNFqvkve2_KIuCZ4Te7N6wpCy8/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 111px; width: 320px;" /></a><br />
Procedendo a divisão colocamos o quociente acima do 24 e o resto abaixo do 38.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikg8ETg4kihhKAfHyY3pXdpWBSy_xybE9cxMwa28P97dkKr64FfG1jdD87EtOMHTRbwDFb0hbpOJJGZ4tGP0W_agZTs7rlfzQtX-c4aoVExmiGU0pse_Wy6QyWuV5kF6xBvEPNq5yZNJ0/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418440859185457122" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikg8ETg4kihhKAfHyY3pXdpWBSy_xybE9cxMwa28P97dkKr64FfG1jdD87EtOMHTRbwDFb0hbpOJJGZ4tGP0W_agZTs7rlfzQtX-c4aoVExmiGU0pse_Wy6QyWuV5kF6xBvEPNq5yZNJ0/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 111px; width: 320px;" /></a><br />
Agora o dividendo será o 24 e o o resto anterior será o divisor, por isso repetimos o 14 ao lado do 24 e o quociente colocamos acima do número 14.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio5ts-UOBsPaP5NVVfEryAFOvieiFj4KgM2yZhfRjdNlO9z7pjL-umN1uETpikR53nsTvcyeqBoFU5B4qkM6UllpmOka3RZAe5-GTbAjZatKO0Z8nv4ZR_ODozGR3X64ADBVUw9HiyWXM/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418440862366080482" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio5ts-UOBsPaP5NVVfEryAFOvieiFj4KgM2yZhfRjdNlO9z7pjL-umN1uETpikR53nsTvcyeqBoFU5B4qkM6UllpmOka3RZAe5-GTbAjZatKO0Z8nv4ZR_ODozGR3X64ADBVUw9HiyWXM/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 111px; width: 320px;" /></a><br />
O novo resto é 10, colocamos este resto ao lado do número 14 e procedemos a divisão.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJLXdG-VuXecmTbpPZSRg7ymlSP5IFW__vq4xVRczlRkXaOUcTsMm-DlGbN79LXr_ywm4kRiGd6POm_i_hFhWQwttKsR86YM-cHgYb3PNCWFipPYEpiS97W6sxMpp68OTmZw4w2AtmkHA/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418440870178992754" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJLXdG-VuXecmTbpPZSRg7ymlSP5IFW__vq4xVRczlRkXaOUcTsMm-DlGbN79LXr_ywm4kRiGd6POm_i_hFhWQwttKsR86YM-cHgYb3PNCWFipPYEpiS97W6sxMpp68OTmZw4w2AtmkHA/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 111px; width: 320px;" /></a><br />
<br />
Uma nova divisão com resto anterior (4) como divisor<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4nH3TpsXJwQPvUbdddKmdCahkV_RlxCy-fjZptlxGDCbm4fXXKiLqnjEqI19WUO4OcgSrpbaDUDl-UkN6C-ydYu16rNQ_snHJyM7RD3yNrgu5XYswGd8UhQJfhQq8janXwiKiFmi36nM/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418441898441036418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4nH3TpsXJwQPvUbdddKmdCahkV_RlxCy-fjZptlxGDCbm4fXXKiLqnjEqI19WUO4OcgSrpbaDUDl-UkN6C-ydYu16rNQ_snHJyM7RD3yNrgu5XYswGd8UhQJfhQq8janXwiKiFmi36nM/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 111px; width: 320px;" /></a><br />
Finalmente a última divisão com resto igual a zero.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdu2bmD4iGluwJ7oTmgn5g_1quffLBzUnHnh2UhxvyJbwqE64asJCbNx2VFBpLIYk2emSMSf-1GXHp9BavTzwAYLt7eEJHOusJlSGMQT14TM3iKD4_qhCxw8EeGdwQ_FWaf2F-rt7cYrM/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418451308771623298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdu2bmD4iGluwJ7oTmgn5g_1quffLBzUnHnh2UhxvyJbwqE64asJCbNx2VFBpLIYk2emSMSf-1GXHp9BavTzwAYLt7eEJHOusJlSGMQT14TM3iKD4_qhCxw8EeGdwQ_FWaf2F-rt7cYrM/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 111px; width: 320px;" /></a><br />
Como o número 2 foi o último resto a ser usado como divisor, ele é o divisor comum a 24 e 38 é <strong>2</strong>.<br />
<br />
<strong>MMC - Mínimo Múltiplo Comum</strong>.<br />
<br />
Para obter o MMC entre dois ou mais números, fatoramos os mesmos simultâneamente, dividindo-os pelo menor fator primo possível.<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjV-jLPr3azvNE44o6i-YTqxVlpqT4kR_ZjM5543qGmVc6nDdOmcIIy2H5Wx5khu8AQYnlLxXa3DfeTF6tTS9ldS1XnHVAbiFEthKTiwPtiDBu-gBnzFS4-C8mexlyujsIV9r4V409e2qk/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418455683531096786" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjV-jLPr3azvNE44o6i-YTqxVlpqT4kR_ZjM5543qGmVc6nDdOmcIIy2H5Wx5khu8AQYnlLxXa3DfeTF6tTS9ldS1XnHVAbiFEthKTiwPtiDBu-gBnzFS4-C8mexlyujsIV9r4V409e2qk/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 181px; width: 320px;" /></a><br />
Logo o mínimo múltiplo comum entre 24 e 38 é 456, ou seja MMC(24,38 ) = 456<br />
<br />
É possível obter o MMC e o MDC com o mesmo algoritmo e ao mesmo tempo, bastando para isso assinalar os primos que dividem simultaneamente todos os valores em questão. Teremos:<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaGXdYG7BRMT8mTno_ULfQiLP_rk5CffSl9I5u7qJBw5Co6uLCQncr_zAsSan18vCWv1kSZ8Fpm8ngcASjPaifSbGEUZ4dWbSh9KaddfkN8N9WwHgMwBIy54x9vJFM0HjREnyb-ncNTh0/s1600-h/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5418455673731749090" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaGXdYG7BRMT8mTno_ULfQiLP_rk5CffSl9I5u7qJBw5Co6uLCQncr_zAsSan18vCWv1kSZ8Fpm8ngcASjPaifSbGEUZ4dWbSh9KaddfkN8N9WwHgMwBIy54x9vJFM0HjREnyb-ncNTh0/s320/Slide1.GIF" style="cursor: hand; cursor: pointer; height: 181px; width: 320px;" /></a><br />
MMC(24,38)= 456 e MDC(24,38) = 2<br />
<br />
Verificamos que nesse caso o número assinalado foi o 2, como mostrado no exemplo do MDC ele é o máximo divisor comum entre 24 e 38. Se houvesse dois ou mais números assinalados, o MDC seria o produto desses números. Veja o próximo exemplo:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSGbzqy7IX6t1cUGe4dlEYRo0jJxrvG1FGrS0-_V6mpE-oTjkgiXn-Mib5oTC20vklmqNQwkTuA9NiXxS_0xRQCQLk-xu7PrYCZCX4PzhtaYr-S0Sp78uhhPHDPWdju6QUJW5r4xmuFD0/s1600/Apresenta%25C3%25A7%25C3%25A3o4.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="166" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSGbzqy7IX6t1cUGe4dlEYRo0jJxrvG1FGrS0-_V6mpE-oTjkgiXn-Mib5oTC20vklmqNQwkTuA9NiXxS_0xRQCQLk-xu7PrYCZCX4PzhtaYr-S0Sp78uhhPHDPWdju6QUJW5r4xmuFD0/s200/Apresenta%25C3%25A7%25C3%25A3o4.gif" width="200" /></a></div><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><br />
</strong><br />
MMC(36,24,84)=504 e MDC(36,24,84)= 2.2.3=12<br />
<br />
<strong>PROPRIEDADE</strong><br />
<br />
MDC(a,b).MMC(a,b)= a.bUnknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-51086485796843043072011-03-25T18:10:00.001-03:002011-03-25T18:40:01.246-03:00Frações<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPfXIBPimR9L2vco3iIIJGtg04ICgKPz5B_ElimLzAHhOHnQKl2liDFeElmCruN5V4IaYIm-yAEtQooMAyDQqETsdvmVL1O3wnfimAagNhPuL6QBTE-50_ZY0ELXCCPQuT8S-RY6xPHhE/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPfXIBPimR9L2vco3iIIJGtg04ICgKPz5B_ElimLzAHhOHnQKl2liDFeElmCruN5V4IaYIm-yAEtQooMAyDQqETsdvmVL1O3wnfimAagNhPuL6QBTE-50_ZY0ELXCCPQuT8S-RY6xPHhE/s1600/Slide1.GIF" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTB4I8wCz-ZmaNPGoWcznd7mit-8u_o5AMDOOiF7JB7MWPPRczFDxE7jjxePRy5dLAJFkmYfIyGlvocWIbzj3yy_tKUm-37oVRfrz_FdqpS1jYhePlPb6wEQCl-0HMcaCM3YRVrSDsGiE/s1600/Apresenta%25C3%25A7%25C3%25A3o5.1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTB4I8wCz-ZmaNPGoWcznd7mit-8u_o5AMDOOiF7JB7MWPPRczFDxE7jjxePRy5dLAJFkmYfIyGlvocWIbzj3yy_tKUm-37oVRfrz_FdqpS1jYhePlPb6wEQCl-0HMcaCM3YRVrSDsGiE/s1600/Apresenta%25C3%25A7%25C3%25A3o5.1.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote></blockquote>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-9705308380840881462011-03-20T17:24:00.003-03:002011-04-03T09:39:05.559-03:00Animação - Donald no País da Matemática<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Nc1vulpH31E?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/9lxAQrCjvKo?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Qfi-Mk2FYQw?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote></blockquote>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-90963831822317073272011-03-20T16:01:00.006-03:002011-03-21T23:54:19.714-03:00Combinatória/Problemas de Contagem*<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>Quando desejamos saber o número de elementos de um conjunto sem recorrer a uma contagem direta, lançamos mão da <b>Análise combinatória</b>. Este tema costuma trazer a nossa mente o estudo de <i>arranjos, permutações e combinações</i>, mas, na realidade, trata-se de muitos outros conceitos ligados ao estudo de estruturas e relações em conjuntos finitos. Em situações diversas de nosso cotidiano, nos deparamos com o que chamamos de <i>problemas de contagem.</i><a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=8131456066212927598"></a><br />
<blockquote></blockquote><div>Veremos que os problemas de contagem podem ser resolvidos com apenas alguns princípios básicos e muita engenhosidade. O essencial é a compreensão do problema.<br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><b>Princípio da Adição</b></span> : Se A e B são conjuntos disjuntos, com p e q elementos respectivamente, então A</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">U</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">B tem p+q elementos.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"></span><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Exemplo 1 </span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"></div><ul><li><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Um menino tem sete bolinhas em uma caixa e dez bolinhas em outra caixa. Quantas bolinhas ele tem ao todo?</span></li>
</ul><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"> Resp.: 7+10 = 17</span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><br />
</span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Exemplo 2</span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"></div><ul><li><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Um treinador trabalha na terça feira com 23 rapazes que jogam futebol e na quarta feira com 25 rapazes que jogam volei. Dado que 5 rapazes treinam tanto futebol como volei, quantos atletas o treinador tem ao todo?</span></li>
</ul><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"> Resp.: A+B-(A∩<span class="Apple-style-span" style="font-family: Symbol;">B) = 23 + 25 - 5 = 43</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Symbol;"><br />
</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><b>Princípio da Multiplicação:</b></span> Se uma decisão d<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">1</span> pode ser tomada de p<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">1</span> maneiras e se, uma vez tomada a decisão d<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">1</span>, a decisão d<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">2</span> puder ser tomada de p<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">2</span> maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">1</span> e d<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">2</span> é de p<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">1</span>.p<span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">2</span> maneiras.</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><br />
</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Exemplo 3</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"></div><ul><li><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Uma lanchonete serve sanduíches que podem ser feitos com pão integral , pão de forma ou pão francês, com sete opções de recheios. Quantos sanduíches distintos podem ser feitos?</span></li>
</ul><br />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"> Resp.: 3.7 = 21</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><br />
</span></span></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;">Exemplo 4</span></span><br />
<br />
<ul><li>Uma bandeira é formada por quatro listas, que devem ser coloridas de vermelho, branco e preto, <b>não </b>devendo haver listras adjacentes com mesma cor. De quantos modos se pode colorir a bandeira? (Note que cada escolha limita as opções subsequentes.)</li>
</ul></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"> Resp.: Para a primeira lista temos 3 opções de cor<br />
Para a segunda, só duas por que não podemos repetir a primeira.<br />
Para a terceira temos duas opções, por que não podemos repetir a segunda<br />
Para a quarta, temos duas opções, por que não podemos repetir a terceira.<br />
Assim, 3.2.2.2= 24. Teremos 24 modos de colorir a bandeira.<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"> </span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><b>Observação</b>:</span> O princípio da multiplicação é apenas uma aplicação do fato de que, se um conjunto A tem<i> x </i>elementos e um conjunto B tem <i>y</i> elementos, então o produto cartesiano de A por B, ou seja AxB, tem <i>x.y</i> elementos. </span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><br />
</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: inherit;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">Dicas:</span></b></span></span><br />
<br />
<ul><li>Quase todos os problemas de aparência simples, podem ser difíceis. Não existe 'receita' que atenda a todos os casos.</li>
<li>Num problema de contagem, devemos contar o número de objetos de uma certa classe. Tentar identificar precisamente quando um objeto pertence a uma classe e quando dois deles devem ser considerados distintos.</li>
<li>Fazer uma representação(figura, esquema, etc.) do problema. Liste alguns dos objetos que pertencem e outros que não pertencem a coleção .</li>
<li>Examinar quantas decisões você deve tomar para executar os passos anteriores. Tente usar os princípios básicos para contar os objetos. Se surgirem dificuldades, tente entender claramente quais são elas.</li>
</ul><div> Caso ainda não esteja claro como proceder, tente:</div><div><ul><li>Dividir o problema em subcasos que você saiba resolver.</li>
<li> "Esquecer" algumas das condições exigidas para que um objeto pertença à coleção, dá origem a uma classe maior que a desejada. É necessário, portanto, excluir posteriormente os objetos indesejados.</li>
<li>Enunciar o problema de forma diferente e/ou descobrir problemas equivalentes. Muitas vezes, estes poderão ser mais simples de resolver.</li>
<li>Depois de resolvido o problema, repense na solução; veja se está contando alguns casos mais de uma vez ou se não está se esquecendo de algum. Veja se não é possível encontrar alguma maneira mais simples de resolver o mesmo problema. Tente pensar em outros problemas em que o mesmo método pode ser usado.</li>
</ul><div><br />
</div><div>Um terceiro e último<span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"> "Princípio"</span>, frequentemente utilizado na resolução de problemas de contagem (mas que não leva o nome oficial de <i>Príncipio</i> na literatura especializada), é o uso sistemático da divisão para eliminar repetições de um mesmo tipo de caso nas contagens.</div></div><div><br />
</div><div>Exemplo 5</div><div><ul><li>De quantas caixas de ovos necessito para embalar 48 ovos?</li>
</ul> Resp.: Uma caixa de ovos tem espaço para 12 ovos, logo, 48/12=4. Necessitamos de 4 caixas.</div><div></div><div>Exemplo 6</div><div><ul><li>De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?</li>
</ul>Pensando...<br />
A primeira pessoa tem 5 opções de lugar para sentar, a segunda tem 4 e a terceira 3. Logo<br />
<br />
<u> 5 </u> <u> 4 </u> <u> 3 </u> = 5.4.3 = 60<br />
<br />
Um outro modo de pensar, só que mais trabalhoso:<br />
Primeiro verificando de quantos modos as 3 pessoas poderiam se sentar, uma ao lado da outra deixando bancos vazios em um dos lados:</div><div><br />
</div><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCzjY2mxE-LWSWuoPps1SjIUt8uc50-5rV-8HsofjMvJbo6VBaIV0EyBPXCZQT39_mBFl6-R7IEZHB7AjCToyfMczEv90YShVGebQZjNRvz9sayOKForNOsDUv-6TJTveFAprf2D4OLYA/s1600/Slide1.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCzjY2mxE-LWSWuoPps1SjIUt8uc50-5rV-8HsofjMvJbo6VBaIV0EyBPXCZQT39_mBFl6-R7IEZHB7AjCToyfMczEv90YShVGebQZjNRvz9sayOKForNOsDUv-6TJTveFAprf2D4OLYA/s1600/Slide1.JPG" /></a></div><div> Então teremos <u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u>→ 3.2.1 = 6, </div><div><u></u></div><div><br />
</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div>Mas podem haver bancos vazios entre eles , vamos verificar as possibilidades usando o quadradinho escuro como o banco ocupado.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_HIb4-cBM2CeTjkW25YajgAmYxYRAcBzKBBCRQoW3PkwrXKYE43VqQYNQds2bPYLYVpJxQZ0H8_jvOAu1mwAxmxpKzjAz1zvy-5nH-dx0ds_AMYMeRHVR8iqMaJrBGMLpvDSlUWYTdH4/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_HIb4-cBM2CeTjkW25YajgAmYxYRAcBzKBBCRQoW3PkwrXKYE43VqQYNQds2bPYLYVpJxQZ0H8_jvOAu1mwAxmxpKzjAz1zvy-5nH-dx0ds_AMYMeRHVR8iqMaJrBGMLpvDSlUWYTdH4/s200/Slide1.GIF" width="103" /></a>Logo, temos 10 possibilidades.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"> Resp.: 10.6=60</div><div><br />
</div><div>Exemplo 7</div><div><ul><li>Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas numa classe de 7 alunos?</li>
</ul>Pensando no problema: </div><div><br />
</div><div>Na primeira escolha temos 7 opções, na segunda , 6 opções , na terceira temos 5 opções e na quarta, 4 opções.</div><div>Logo,</div><div> <u> 7 </u> <u> 6 </u> <u> 5 </u> <u>4 </u> → 7.6.5.4 = 840</div><div>Mas 840 não é a quantidade total de comissões. Note que a comissão formada pelos alunos A, B, C e D é a mesma que a formada pelos alunos B, D, C e A. Precisamos saber quantas vezes cada comissão foi contada repetidamente. </div><div>Pensando... cada comissão tem 4 alunos, de quantos modos diferentes podemos fazer a chamada?<br />
<u> 4 </u> <u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u> → 4.3.2.1 = 24 </div><div>Então, das 840 escolhas, cada grupo de 24 representa a mesma comissão. Portanto, o total de comissões será 840/24= 35.</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div>Exemplo 8</div><div><ul><li>Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?</li>
</ul>Pensando... se todas as letras fossem diferentes, teríamos </div><div><u>10 </u> <u> 9 </u> <u> 8 7 </u> <u> 6 </u> <u> 5 </u> <u> 4 </u> <u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u> = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1=3628800</div><div>No entanto as letras T e M, aparecem 2 vezes cada e a letra A , ignorando o assento, aparece 3 vezes.</div><div>para T temos 2.1 =2</div><div>para M temos 2.1=2</div><div>para A temos 3.2.1=6</div><div>Assim, eliminando as repetições 3628800/(2.2.6)=151200 anagramas</div><div> Resp.: 151200 anagramas</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div>Exemplo 9</div><div><ul><li>Qual o número de rodas de ciranda distintas que podem ser formadas com 7 crianças.</li>
</ul><div> Note que, quando organizadas em círculo, podemos começar a <i>fila</i> em 7 pontos diferentes que continuará sendo a mesma <i>fila</i>, ou sejam, são equivalentes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHr4R-0es4ZiCxc8Yv2Hj1TvCdhWAMz2dRm8Bc31MAvppuJSUU8AhOrpX2W6eGY34labqRBt8wq-Bgk6l0lh3LWeDVEW1rZlUtdHC7p1mJGp6-uFzH4qS9ZEPB6T7X5R2wK_5ANpANK7s/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="178" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHr4R-0es4ZiCxc8Yv2Hj1TvCdhWAMz2dRm8Bc31MAvppuJSUU8AhOrpX2W6eGY34labqRBt8wq-Bgk6l0lh3LWeDVEW1rZlUtdHC7p1mJGp6-uFzH4qS9ZEPB6T7X5R2wK_5ANpANK7s/s400/Slide1.GIF" width="400" /></a></div><div>Então, de <u> 7 </u> <u> 6 </u> <u> 5 </u> <u> 4 </u> <u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u>= 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 , teremos que tirar 7 repetições.</div><div> Resp.: 5040/7 = 720</div><div><br />
</div></div><div>Note que até aqui só utilizamos raciocínio lógico, não fizemos uso de nenhuma fórmula. Ao final, colocaremos uma série de exercícios com situações de complexidades crescentes, sendo que todos poderão ser feito sem o uso de fórmulas.</div></div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">FORMALIZANDO</span><br />
<br />
<b><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;">I)</span></b> Do exemplo 6, temos<br />
<br />
<ul><li>De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?</li>
</ul><u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u>→ 3.2.1 = 6<br />
em 10 possibilidade<br />
10.6=60 que pode ser reescrito assim<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjc7MbvVRs4gWiI78K5BYwASTyQLE31UiGhVq7cZV_IWWYHrec-Hx8FhDf2tsE79UrY8NFOkA-Rgmxqyhnli_ZzbWRjJCFie7RBjqAR1zcUCbWL-pNC2Y1eh5CAVE9nrTYsOKsdW8VQAwY/s1600/Slide1.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="67" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjc7MbvVRs4gWiI78K5BYwASTyQLE31UiGhVq7cZV_IWWYHrec-Hx8FhDf2tsE79UrY8NFOkA-Rgmxqyhnli_ZzbWRjJCFie7RBjqAR1zcUCbWL-pNC2Y1eh5CAVE9nrTYsOKsdW8VQAwY/s320/Slide1.JPG" width="320" /></a></div>Perceba que tivemos que faze uma escolha de<i> m</i> objetos entre <i>n</i> objetos, onde<i> m<n</i>, e a ordem em que fazemos a escolha determina objetos diferentes. Este tipo de problema aparece frequentemente e recebe o nome de<i> Arranjo simples de m elementos em n.</i> Nestas situações, o resultado é dado por n(n-1)(n-2)...(n-m+1), e a notação utilizada é:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZQKx2CGaxdBDzN1yGX8uBiqKIb30flKmZ3NJv-QhL_YAPm7UZDl0wZ9w6eK_2JccLagVkQkW5p0qJ31qD_WN3vUjV5CivVSmpeGEiI2ULOerLHEhH0WBR6OPdxMt0dDD26jWa3XVQG3E/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="59" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZQKx2CGaxdBDzN1yGX8uBiqKIb30flKmZ3NJv-QhL_YAPm7UZDl0wZ9w6eK_2JccLagVkQkW5p0qJ31qD_WN3vUjV5CivVSmpeGEiI2ULOerLHEhH0WBR6OPdxMt0dDD26jWa3XVQG3E/s200/Slide1.GIF" width="200" /></a></div><br />
<br />
Do exemplo 7, temos<br />
<div><ul><li>Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas numa classe de 7 alunos?</li>
</ul></div> <u> 7 </u> <u> 6 </u> <u> 5 </u> <u>4 </u> → 7.6.5.4 = 840 como escolhas ordenadas de alunos e<br />
<u> 4 </u> <u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u> → 4.3.2.1 = 24 como as maneiras diferentes de ordená-los<br />
<br />
podemos reescrever 7.6.5.4 como 7!/3! = 840 e 4.3.2.1 como 4! = 24. Assim, 840/24 ficará<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdKhb4BPSA0_Szy3e43LUsoPl9uAs3c4jo7rZyVRgEkHqPqAcAE4FF2FyTDe1CvF-nT4-IAf8uuANWPcKBvSiAt6KZm2PeJHJWT9D1VlRnAvqr9KF9WwPuI5WEMc9r0zYrh-5OHVITZk4/s1600/Slide1.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="59" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdKhb4BPSA0_Szy3e43LUsoPl9uAs3c4jo7rZyVRgEkHqPqAcAE4FF2FyTDe1CvF-nT4-IAf8uuANWPcKBvSiAt6KZm2PeJHJWT9D1VlRnAvqr9KF9WwPuI5WEMc9r0zYrh-5OHVITZk4/s200/Slide1.JPG" width="200" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"></div><div>Perceba que tivemos que faze uma escolha de<i> m</i> objetos entre <i>n</i> objetos, onde<i> m<n</i>, e a ordem em não determina objetos diferentes. Nessa situação, ignorando inicialmente que a ordem dos objetos é irrelevante, obtivemos uma quantidade maior que a desejada (840), já que várias comissões foram contadas várias vezes.Para eliminar as repetições usamos a divisão. Uma situação como esta, é comum e recebe o nome de <i>Combinação simples de m elementos em n</i>,<i> </i>cuja notação é:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRpGy6HCJo5hQnh9PLWClGOHULqaYllsqfuP_oWyXZnmAyTgb_BpXiCl4ml0-CxLmbZ4RA1f2tNSb4tJTh4NlvkOWpVvaB9owclUgU75z8C50MAlA7LAxdb2L4RrxOM22QFQ6-eV8NAuM/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="59" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRpGy6HCJo5hQnh9PLWClGOHULqaYllsqfuP_oWyXZnmAyTgb_BpXiCl4ml0-CxLmbZ4RA1f2tNSb4tJTh4NlvkOWpVvaB9owclUgU75z8C50MAlA7LAxdb2L4RrxOM22QFQ6-eV8NAuM/s200/Slide1.GIF" width="200" /></a></div><i><br />
</i><br />
<br />
Do exemplo 8 temos</div><div><ul><li>Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?</li>
</ul><u>10 </u> <u> 9 </u> <u> 8 7 </u> <u> 6 </u> <u> 5 </u> <u> 4 </u> <u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u> = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1=3628800</div><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"></div><div>para T temos 2.1 =2</div><div>para M temos 2.1=2</div><div>para A temos 3.2.1=6</div><br />
Logo, 3628800/(2.2.6)=151200, reescrevendo<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_amH-rFeJU2H55dC44wuJHunxxncXd1bF4kbOYAiBt7fruHDckfkNkF3ANUkLOS8jqo0jjpzg60XhfYK6eScKI7kyxDLyfYTkz4_ZSy9ALg_wTFi8d4HbZmep_dTldHo_5piwnQd37V4/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="67" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_amH-rFeJU2H55dC44wuJHunxxncXd1bF4kbOYAiBt7fruHDckfkNkF3ANUkLOS8jqo0jjpzg60XhfYK6eScKI7kyxDLyfYTkz4_ZSy9ALg_wTFi8d4HbZmep_dTldHo_5piwnQd37V4/s320/Slide1.GIF" width="320" /></a></div>Note que fizemos o número de todas as possibilidades dividido pelo número de repetições.<br />
<br />
<br />
<br />
<div>Do exemplo 9 temos</div><div><ul><li>Qual o número de rodas de ciranda distintas que podem ser formadas com 7 crianças.</li>
</ul></div><br />
<br />
<div><u> 7 </u> <u> 6 </u> <u> 5 </u> <u> 4 </u> <u> 3 </u> <u> 2 </u> <u> 1 </u>= 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 , teremos que tirar 7 repetições.</div><div> 5040/7 = 720 que podemos reescrever como</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjN8_vCqpAcChfoksdmXV0e0CdoWibUA9ywZeuhUbihxNPgYBwWXpSyNB4IJWBcVRAdP38K4sbg5nKG9mwfg1WmHjgaAPQp8saPBaFYymuPpOx5PiqNiKnppWcGvFm5goEX9-wb0wLPfWM/s1600/Slide1.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="59" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjN8_vCqpAcChfoksdmXV0e0CdoWibUA9ywZeuhUbihxNPgYBwWXpSyNB4IJWBcVRAdP38K4sbg5nKG9mwfg1WmHjgaAPQp8saPBaFYymuPpOx5PiqNiKnppWcGvFm5goEX9-wb0wLPfWM/s200/Slide1.GIF" width="200" /></a></div><div><br />
</div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><br />
</span></div><div style="text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"></span><br />
<div class="MsoNormal"><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><span style="color: maroon; font-family: 'Wingdings 2';">c</span><span style="color: maroon; font-family: 'Wingdings 2';">d</span><span style="color: maroon;"><o:p></o:p></span></span></div></div><div><span class="Apple-style-span" style="color: #660000;"><br />
</span></div><div style="text-align: center;">EXERCÍCIOS PROPOSTOS:</div><div><br />
</div><div>Os exercícios abaixo foram extraídos do livro "<b>Análise Combinatória e Probabilidade</b>"- <b>Morgado</b>,A.C.O.; <b>Carvalho</b>, J.B.P.;<b>Carvalho</b>, P.C.P.; <b>Fernandez</b>,P. - Coleção do Professor de Matemática -SBM.</div><div><br />
</div><div>1. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?</div><div><br />
</div><div>2.Quantos são os gabaritos possíveis vem um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas por questão? </div><div><br />
</div><div>3. Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distinto?</div><div><br />
</div><div>4. De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12 membros?</div><div><br />
</div><div>5. Quantos números de 4 dígitos são maiores que 2400 e:</div><div> a) tem todos os dígitos diferentes.</div><div> b) não tem dígitos iguais a 3, 5 ou 6.</div><div> c) tem as propriedades a( e b) simultaneamente.</div><div><br />
</div><div>6.Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem <i>n</i> elementos?</div><div><br />
</div><div>7. Fichas podem ser azuis, vermelhas ou amarelas; circulares, retangulares ou triangulares; finas ou grossas. Quantos tipos de fichas existem?</div><div><br />
</div><div>8. Quantos são os anagramas com a palavra PRÁTICO?</div><div><br />
</div><div>9. De quantos modos 5 rapazes e 5 moças podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares cada, de modo que em cada banco fiquem um rapaz e uma moça?</div><div><br />
</div><div>10. De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?</div><div><br />
</div><div>11. Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes?</div><div><br />
</div><div>12. De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de sete homens e quatro mulheres?</div><div><br />
</div><div>13. Quantas diagonais possui um polígono de <i>n</i> lados?</div><div><br />
</div><div>14. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças não fiquem juntas?</div><div><br />
</div><div>15. O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. Quantas são as funções f : A → B. Quantas delas são injetoras?</div><div><br />
</div><div>Gabarito:</div><div><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;">1) 15600 2) 9.765.625 3) 4.536 4) 132 5) a)3.864 b)1.567 c) 560 </span><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;">6) 2<sup>n </sup>7) 18 8) 5.040 9) 460.800 10) 24 11) 210 12) 371 13) n(n-3)/2 14) 480 15) 2.401</span></div><div>____________________</div><div><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;">* O material aqui apresentado foi adaptado de um trabalho da Profa. Cristina Cerri e da Profa. Iole de Freitas Druk, do IME-USP, baseado no Trabalho <i>Combinatória sem fórmulas</i> de Antônio Luiz Pereira, Cristina Cerri e Iole de Freitas Druk, do IME-USP, escrito para as oficinas do Projeto Pr-Ciências da Fapesp(2000) e baseado em Morgado <i>et al.Análise Combinatória e Probabilidades</i>, Rio de Janeiro:SBM, 1991.</span></div></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8131456066212927598.post-63893347706094839702011-03-19T20:30:00.005-03:002015-04-02T20:59:44.900-03:00Relação de Stewart<a href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=8131456066212927598&postID=6389334770609483970"></a><br />
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</blockquote>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJN5tCRbhw_eDgJaZWF6bt_jxEAEHAGPEzvGCvp5CcN95-_LQ48udLl1JUaikzhcMedrM_hwOTdjwv_FFxSgmS7IVOQ51lMmOQZYkrpbBDsux-qHKceOEof5bBQcrq2nv7X_jTRCqrmLw/s1600/Slide1.GIF"><img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJN5tCRbhw_eDgJaZWF6bt_jxEAEHAGPEzvGCvp5CcN95-_LQ48udLl1JUaikzhcMedrM_hwOTdjwv_FFxSgmS7IVOQ51lMmOQZYkrpbBDsux-qHKceOEof5bBQcrq2nv7X_jTRCqrmLw/s1600/Slide1.GIF" height="240" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5472411274514648914" width="400" /></a><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJN5tCRbhw_eDgJaZWF6bt_jxEAEHAGPEzvGCvp5CcN95-_LQ48udLl1JUaikzhcMedrM_hwOTdjwv_FFxSgmS7IVOQ51lMmOQZYkrpbBDsux-qHKceOEof5bBQcrq2nv7X_jTRCqrmLw/s1600/Slide1.GIF"></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiqpDz6p-fH4hzWVD3BE0eF4r74E0c4x6CI6WLTPq9LlN0AhLbCx658IK3_ib9eriffSwKjYEuTPFjNeXMy7JC2wbd4qhsMPxbYRxxs_pSWIzLE5lQanzhcVHzR8CvLxeQutcXSa20s0g/s1600/Slide2.GIF"><img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiqpDz6p-fH4hzWVD3BE0eF4r74E0c4x6CI6WLTPq9LlN0AhLbCx658IK3_ib9eriffSwKjYEuTPFjNeXMy7JC2wbd4qhsMPxbYRxxs_pSWIzLE5lQanzhcVHzR8CvLxeQutcXSa20s0g/s1600/Slide2.GIF" height="240" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474486524849376770" width="400" /></a><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4kLa9lBoN0b0Zo4LW6arUfTV6449Y11GaU2B9W8jJ4kY6ac7Ll18595I9Oj9cUNzojAC8OjazjL9JS09XCKJiNp69DeCRMOMUQ_Dg3djIsR2ozi_V06towcc2nZqUD2NRVm7qUR0J59I/s1600/Slide3.GIF"><img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4kLa9lBoN0b0Zo4LW6arUfTV6449Y11GaU2B9W8jJ4kY6ac7Ll18595I9Oj9cUNzojAC8OjazjL9JS09XCKJiNp69DeCRMOMUQ_Dg3djIsR2ozi_V06towcc2nZqUD2NRVm7qUR0J59I/s1600/Slide3.GIF" height="240" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5472611106197550722" width="400" /></a><br />
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