Raízes de Primos

• Dado um número p primo, provar que √p não pode ser escrito da forma a/b, com a e b inteiros, b≠0 e MDC(a,b)=1.

Primeiro ponto a lembrar  é que raízes de números primos são números irracionais, logo não podem ser escritos em forma de frações, portanto, é isto que precisamos provar. Quanto à afirmação que MDC(a,b)=1, isto indica que a e b são primos entre si, ou seja, trata-se de  uma fração irredutível.  Exemplos: 3/4; 14/15, etc.

Resolução:

Vamos fazer a prova por absurdo, primeiro para um caso específico, depois um mais geral.

Sendo 2 primo, suponhamos que √2  possa ser escrito da forma a/b, MDC(a,b)=1. Então:

√2 = a/b     ( elevando os dois lados ao quadrado)

2 = a²/b²     (multiplicando ambos os lados por b²)

2b² = a² 

Logo, a² é um número par , assim a também é par e  pode ser escrito da forma a=2k, k um número inteiro. 

Então,

2b² = (2k)² 

2b²=4k²    (dividindo ambos os lados por 2)

b²=2k² 

Disso podemos concluir que b² é um número par,  portanto b é par. 

Mas, se a  é um número par e b  também é um número par, a fração a/b pode ser reduzida, o que é um absurdo pois, afirmamos no começo que MDC(a,b)=1.

Fazendo agora para o caso geral:

√p = a/b   (elevando ambos os lados ao quadrado)

p=a²/b²    ( multiplicando ambos os lados por b²)

b².p=a²  

Isso indica que p pode dividir a² , logo, também pode dividir a. Mas os fatores de a são os mesmos de a² só que elevados a uma potência par. Então podemos reescrever o número a² como a²=p^(2k).x, (leia-se a ao quadrado é igual a p elevado a 2k vezes x) onde x é o produto dos demais fatores de a e k um número inteiro, já que não sabemos quantas  vezes p aparece como fator de a . Então,

b².p=a²  

b².p=p^2k.x

Mas, b².p=p^2k.x  indica que  p também é fator primo de b², por conseguinte de b. Como concluímos que tanto a como b possuem p  entre seus fatores primos, isso indica que a fração a/b é redutível, o que é um absurdo pois MDC(a,b)=1.

Logo, √p  é um número irracional.