Como encontrar a raiz quadrada de números construtíveis usando régua e compasso.

Quando procuramos na internet informações sobre como extrair a raiz quadrada de  números construtíveis* encontramos “receitas” que nos mostram como efetuar a raiz quadrada de números como os primos entre outros. Porém, dificilmente encontramos a base para tal. Assim, nosso objetivo será mostrar a justificativa para o processo de construção geométrica que resulta na raiz quadrada de um determinado número, de forma simplificada.

* Dizemos que um número real x é construtível , se x = 0 ou se for possível construir, com régua e compasso, através de um número finito desses procedimentos, um segmento de comprimento igual a |x|, a partir de um segmento de reta tomado como a unidade.

Justificativa:

Primeiramente, observe que o triângulo OPB está inscrito na circunferência de cento M, como corresponde à base do triângulo, bem como, ao diâmetro da circunferência, o triângulo OPB é retângulo em P.

Como sabemos disso?  Traçando um segmento do ponto P ao M e lançando um olhar sobre os ângulos formados como a seguir:

Das relações métricas do triângulo retângulo temos que 

Voltando à construção dada na "receita" temos que para obter a raiz quadrada de um determinado número construtível, tomamos uma reta, nela marcamos os pontos O e A que determinam um segmento de uma unidade, adicionamos o ponto B, para que AB seja de medida igual ao valor que desejamos extrair a raiz, na mesma reta. O segmento determinado pelos pontos O e B corresponde à base de um triângulo retângulo e ao mesmo tempo ao diâmetro da circunferência que circunscreve este triângulo. O ponto P, na circunferência, determina o ângulo reto e pertence à reta perpendicular ao diâmetro passando pelo ponto A. A distância do ponto P à base do triângulo corresponde ao valor procurado. Visto que, pelas relações métricas do triângulo retângulo, h²=a.b, como b=1, h é a raiz quadrada de a.

Acreditamos que desta forma está plenamente justificada a construção inicial.